در ادامه‌ی بحث جبرخطی و ماتریس‌ها، در این درس به یکی از بحث‌های کاربردی در ماتریس‌ها می‌رسیم. بردار ویژه یا همان EigenVector و مقدار ویژه یا همان EigenValue دو عنصری هستند که در بخش‌های مختلف یادگیری ماشین و داده‌کاوی کاربرد فراوانی دارند. به ویژه در کاهش ابعاد و مهندسی ویژگی، این دو مقدار می‌توانند کاربردی باشند.
اگر بخواهیم به سادگیْ مقدار ویژه و بردار ویژه را شرح دهیم، باید شکل زیر را با کمی دقت مشاهده کنیم:
همان‌طور که می‌بینید ما یک ماتریس A داریم. بردارِ ویژه که در بالا هم مشخص شد، برداری است که وقتی در ماتریس ضرب میشود، حاصل آن برابر است با ضربِ همان بردارِ ویژه در عددی مانند عدد ۵ که در تصویر بالا مشخص شده است. حالا به تصویر زیر که فرموله شده‌ی همان مثال بالاست نگاه کنید:
در واقع بردارهای ویژه می‌توانند جهت توزیع‌شدگیِ داده‌ها را به نوعی مشخص کنند. شکل زیر را نگاه کنید:
نقاطِ سیاه داده‌هایی هستند که بر روی دو بُعد (آبی رنگ) قرار دارند (اگر نمی‌دانید این داده‌ها چگونه بر روی دو بعد قرار گرفته‌اند درس ابعاد در داده‌کاوی را بخوانید). دو بردارِ قرمز رنگ بردارهای ویژه برای این داده‌ها هستند که به نوعی جهت توزیع شدن داده‌ها را مشخص می‌کنند. توجه داشته باشید که به ازای هر بُعد (یعنی هر ستون) یک بردار ویژه‌ی جدید خواهیم داشت. مثلاً اگر مسئله‌ی ما ۳۰ بُعد داشته باشد، تعداد بردارهای ویژه هم برابر با ۳۰ است. انیمیشن زیر می‌تواند در درک بهتر بردار ویژه کمک کند:
در شکل بالا، چون نمونه‌ها بر روی دو بُعد گسترده شده‌اند، دو بردار قرمز و سبز رنگ (که همان بردارهای ویژه هستند) داریم.
بردارِ ویژه کاربردِ مختلفی در علوم مهندسی دارد که یکی از کاربرد‌های آن در الگوریتم یادگیری‌ماشین جهت انجام عملیاتِ کاهشِ ویژگی یا کاهشِ ابعاد است. در دروس بعدی به اینکه این بردار‌ها چگونه می‌توانند به ما در علملیات داده‌کاوی و یادگیری ماشین کمک کنند می‌پردازیم.
- ۱ » عدد (Scalar)، بردار (Vectors)، ماتریس (Matrix) و تنسور (Tensor) چیست؟
- ۲ » ماتریس‌ها و کاربرد آن‌ها در داده‌کاوی و یادگیری ماشین
- ۳ » نرم (Norm) بردار یا ماتریس چیست؟
- ۴ » انواع ماتریس و ویژگی‌های مختلف آن‌ها
- ۵ » چرا ماتریس‌ها در علوم داده مهم هستند؟
- ۶ » معیارهای فاصله (Distance Measures) در یادگیری ماشین
- ۷ » بردار ویژه (Eigen Vector) و مقدار ویژه (Eigen Value) برای یک ماتریس
- ۸ » Singular Value Decomposition یا همان SVD در ماتریس چیست؟
- ۹ » ماتریس کواریانس (Covariance) و ماتریس همبستگی (Correlation) چیست؟
- ۱۰ » آنالیز مولفه اصلی (Principal Component Analysis) یا همان PCA چیست؟
- ۱۱ » دستگاه معادلات خطی (System of Linear Equations) در ماتریس‌ها
سلام. خسته نباشید. این برادار ویژه چطوری اصلا تعیین میشه؟
سلام
ممنون از شما. بردارهای ویژه پایه مباحث ریاضی و ماتریسی هستند که به دلیل اینکه بیشتر به سمت ریاضی و قوانین آن رفته است در این درس از گفتن آن ها خودداری کردیم. در دروس ریاضیات پایه توضیحات آن ها داده شده است
مختصر و مفید. عالی بود
عالی بود واقعا. خلاصه و عالی.
سلام خسته نباشید می خواستم بدونم کاربرد بردار ویژه و مقادیر ویژه در مهندسی صنایع چیست
زمانی که شما تعداد زیادی داده دارید مثل داده هایی که در بحث کنترل کیفیت جمع آوری شده است برای کاهش بعد این داده ها(مثلا در نمودار های کنترل کیفیت چند متغیره) از بردار ویژه و مقدار ویژه استفاده میشود. برای اطلاعات بیشتر می تونید عبارت pca +QUALITY CONTROL رو در نشریات علمی سرچ کنید.
بسیار عالی و کاربردی بود.
با سلام و احترام.
این جمله “در واقع بردارهای ویژه می‌توانند جهت توزیع‌شدگیِ داده‌ها را به نوعی مشخص کنند” را باتوجه به شکل پایین آن به خوبی درک نکردم .
آیا منظور این است که که اکثر داده ها در کدام مکان از آن بردار دو بعدی قرار دارند؟
سلام. من تا حدی مطالب سایتتون رو برای انجام تزم مطالعه کردم. خودم قبلا از همه این مباحث در پروژه هام استفاده کرده بودم اما شاید تا این حد عمیق مسائل رو اونطور که دلم میخواست درک نکرده بودم.(چون رشته ام مستقیما با این مباحث مرتبط نیست) مطالبتون درسته شاید مقدماتی بنظر برسه اما خیلی خوب و عمیق توضیح داده شده که اگه اون مقدمات رو بخوبی درک نکنیم نمیشه به بسط شده اون هم خوب پرداخت؛ و با این مقدمات میشه راحت بقیه راه رو خودمون هم بریم.
خواستم ازتون با تمام احترام تشکر کنم، خیلی خوب و مفهوم تمام مباحث رو توضیح دادید. انشاالله که کارهای خودتون هم به کمک خدا همینطور راحت جلو بره و موفق و سربلند باشید همیشه.
سلام میتوانید با رسم و به صورت ملموس امتداد ویژه یه بردار رو که از معادله مفسر بدست میاد رسم کنید
امتدادهای ویژه ماتریس متقارن بر هم عمودند شما با رسم نشون بدید
ممنون از وقتی که میذارید
با سلام
فوق العاده بود
بسیار تشکر استاد گرامی
سلام وقت بخیر
از صبح این کلمه آیگن ولیو توی ذهنم میچرخید ، تا سرچ زدم مطلب شما اومد.
از قضا آشنا هم دراومدید.
کامل و جامع و مختصر بود.
سلام . واقعا نحوه توضیح دادن مطالبتون عالی عالیه . مثلا چند سال هست بردار ویژه اینقدر برای من جانیفتاده بود. بسیارسپاسگزارم
سلام.من دانشجوی ریاضی هستم و برای تحقیق درباره ی کاربرد های جبرخطی،این مطلب رو خوندم.. مرسی از توضیح عالی تون…اگر می تونید توی تحقیقم راهنمایی کنید،به ایمیلم پیام دهید..مچکرم
خیلی دنبال این موضوع بودم
.
خیلی ممنون
آیا از این بردار در رگراسیون هم استفاده میشه؟ پراکندگی نقاط تو شکل شبیه رگراسیون هست
دست شما درد نکند انشائ ال… خود و عزیزانتان همیشه سلامت باشید.
ميتونيم اينجور در نظر بگيريم كه يكي از كاربردهاش فشرده سازي داده ها هست؟