عدد (Scalar)، بردار (Vectors)، ماتریس (Matrix) و تنسور (Tensor) چیست؟ | چیستیو

این درس از مجموعه دوره ریاضیات پایه و جبر خطی (Linear Algebra) برای یادگیری‌ماشین است

درس بعدی - ماتریس‌ها و کاربرد آن‌ها در داده‌کاوی و یادگیری ماشین

مدرس: مسعود کاویانی

پایه‌ی عملیاتِ یادگیری‌ماشین و یادگیری‌عمیق، اعداد هستند. این اعداد با قرار گرفتن در کنارِ هم ، بردارها را می‌سازند و بردارها در کنار یکدیگر قرار می‌گیرند و ماتریس‌ها را تشکیل می‌دهند. مطمئن هستم که تقریباً همه‌ی کسانی که این نوشته را می‌خوانند به نوعی با این سه عنصر (عدد، بردار و ماتریس) آشنایی دارند. عناصری که در داده‌کاوی و یادگیری‌ماشین و مخصوصاً یادگیری عمیق بسیار کاربردی هستند. در این درس می‌خواهیم این سه عنصر (به همراه یک عنصر دیگر به نامِ تنسور) را با هم مرور کنیم.

تصویر زیر را در مورد عدد، بردار و ماتریس ببینید:

قطعاً با این عناصر آشنایی دارید اما شاید تسنور (Tensor) واژه‌ی جدیدی باشد. Tensor در واقع یک ماتریس است که هر کدام از خانه‌های آن به جای این‌که یک عدد داشته باشند، می‌تواند چندین عدد را در خود جای دهد. شکل زیر را نگاه کنید:

تصویر بالا یک نمونه تنسور است که سه بُعد دارد. به بیانی دیگر تصویرِ بالا یک ماتریس است که هر کدام از خانه‌های آن، خود یک بردار هستند. در واقع تنسور یک بُعد بیشتر از ماتریس دارد. شکل زیر خلاصه‌ی چیزی است که تا حالا در مورد عدد، بردار، ماتریس و تنسور گفته‌ایم:

پس به طور کلی: عدد ۰بُعد دارد، بردار ۱بُعدی است، ماتریس ۲بُعدی و در نهایت تنسور ۳بُعد دارد.

اگر وقت داشته باشید و درس طبقه‌بندی را بخوانید، مشاهده می‌کنید که در واقع یک ماتریس از مشتریان ساخته‌ایم که هر مشتری یک بردار است (و این یکی از کاربردهای اساسی بردار و ماتریس در عملیات یادگیری ماشین و داده‌کاوی است). اما در مورد کاربردِ تنسور (tensor) می‌توان مثالِ یک عکس (مانند JPEG) را آورد. فرض کنید می‌خواهیم یک تصویر را به کامپیوتر به وسیله‌ی تنسور وارد کنیم. در واقع بایستی کاری کنیم که این تصویر برای کامپیوتر و به تبعِ آن الگوریتم‌های داده‌کاوی قابلِ فهم باشد. عرض و ارتفاع تصویر که مانند یک ماتریس است و هر خانه ماتریس هم یک پیکسل (pixel) از آن تصویر است. همان‌طور که می‌دانید در سیستم RGB هر پیکسل از مجموعه رنگ قرمز، سبز و آبی (RGB) تشکیل شده است. پس هر کدام از خانه‌های این ماتریس را می‌توان ترکیبی از این سه رنگ دانست. حال دوباره شکلِ زیر را نگاه کنید:

ما یک تصویر را به یک تنسور (tensor) تبدیل کرده‌ایم. هر کدام از خانه‌های این ماتریس، نمایان‌گرِ یک پیکسل است، که خود از سه رنگ (یک بردارِ سه عضوی) تشکیل شده است.

پایه‌ی عملیات یادگیری ماشین و یادگیری عمیق را می‌توان این عناصر دانست. در واقع جبر‌خطی با استفاده از این عناصر، فرمول‌ها و فرآیند‌های خود را می‌سازد.