دستگاه معادلات خطی یا همان System of Linear Equation، مجموعه‌ای از تعدادی معاله‌ی خطی است که هر کدام می‌تواند چندین مجهول داشته باشد. فرض کنید در یک شرکت داروسازی کار می‌کنید که این شرکت می‌خواهد تعدادی دارو به عنوان محصول تولید کند که برای ساخت هر کدام از این داروها نیاز به مقداری مواد اولیه دارد. این مسئله را می‌توان به صورت زیر فرموله کرد:
همانطور که می‌دانید منابع و مواد محدود هستند. این شرکت داروسازی از شما می‌خواهد تا با توجه به مقدار مشخصی که از هر کدام از مواد در دسترس دارد، طوری داروها رو تولید کنید که هیچ ماده‌ای اضافی باقی نماند. شما برای حل این مسئله می‌توانید از دستگاه معادلات خطی یا همان System of Linear Equations بهره ببرید.
دستگاه معادلات خطی نقشی اساسی در جبر خطی دارد. بسیاری از مسائل (مانند مسئله‌ی گفته شده در بالا) قابلیت فرموله شدن توسط دستگاه معادلات خطی را دارند و در جبر خطی ابزارهایی وجود دارد که می‌تواند این مسائل را حل نماید.
برای نمونه اگر بخواهیم مقدار کل ماده‌ی مصرفی برای تولید تعدادی دارو را با استفاده از دستگاه معادلات خطی، فرموله کنیم، چیزی مانند شکل زیر رخ می‌دهد:
همانطور که مشخص است، مقدار ماده‌ی مورد نیاز برای تولید هر محصول (دارو)، ضرب در تعداد کل مورد نیاز آن محصول (دارو) می‌شود و سپس تمامی مقادیر با یکدیگر جمع می‌شوند. حالا اگر بخواهیم تمامی محصولات (داروها) را به صورت دستگاه معادلات خطی و با توجه به محدودیت هر ماده که با b نمایش داده می‌شود، مشخص کنیم، به شکل زیر می‌رسیم:
مسئله‌ی فوق می‌تواند به سادگی به ضرب ماتریس‌ها تبدیل شود. برای سادگی اجازه دهید با مثال عددی، این بحث را ادامه دهیم و با دستگاه معادلات خطی تبدیل به حالت ماتریسی را انجام دهیم:
همانطور که در شکل بالا مشاهده می‌کنید، ما به دنبال پیدا کردنِ تعداد قابل تولید از هر کدام از محصولات (داروها) که با x نمایش داده شده، با توجه به محدودیت مقدار دسترسی هستیم. در شکل بالا مشخص است که برای تولید داروی x1، به ۱ واحد از ماده‌ی ۱، برای تولید داروی x2، به صفر واحد از ماده‌ی ۱، برای تولید داروی x3 به ۸ واحد از ماده‌ی ۱ مصرف و با تولید داروی x4، مقدار ۴ واحد از ماده‌ی ۱ تولید می‌شود.
حل مسائل ماتریسی با کمک ابزارهای جبرخطی قابل حل است. این گونه مسائل در زبان‌های برنامه‌نویسی نیز به سادگی قابلیت مدل‌سازی و حل کردن هستند. ما هم در دروس آینده به حل این مسئله خواهیم پرداخت و جزئیات آن را مورد بررسی قرار می‌دهیم.
- ۱ » عدد (Scalar)، بردار (Vectors)، ماتریس (Matrix) و تنسور (Tensor) چیست؟
- ۲ » ماتریس‌ها و کاربرد آنها در دادهکاوی و یادگیری ماشین
- ۳ » نرم (Norm) بردار یا ماتریس چیست؟
- ۴ » انواع ماتریس و ویژگیهای مختلف آنها
- ۵ » چرا ماتریس‌ها در علوم داده مهم هستند؟
- ۶ » معیارهای فاصله (Distance Measures) در یادگیری ماشین
- ۷ » بردار ویژه (Eigen Vector) و مقدار ویژه (Eigen Value) برای یک ماتریس
- ۸ » Singular Value Decomposition یا همان SVD در ماتریس چیست؟
- ۹ » ماتریس کواریانس (Covariance) و ماتریس همبستگی (Correlation) چیست؟
- ۱۰ » آنالیز مولفه اصلی (Principal Component Analysis) یا همان PCA چیست؟
- ۱۱ » دستگاه معادلات خطی (System of Linear Equations) در ماتریس‌ها