توزیع گاما (Gamma Distribution)

مدرس: مسعود کاویانی

MasoudKaviani.ir

تا به این‌جا در دوره‌ی جاری، با انواع مختلفی از توابع توزیع احتمالی آشنا شدیم. تابع توزیع برنولی، دوجمله‌ای، پواسون، نمایی و توزیع نرمال از جمله این دست از توزیع‌ها بودند. در درس جاری به توزیع پیچیده‌تری با اسم توزیع گاما یا همان gamma distribution خواهیم پرداخت و کاربرد این توزیع را با هم مرور خواهیم کرد. توجه داشته باشید که توزیع گاما از کاربردی‌ترین توزیع‌های احتمالی در صنعت است.

برای درک توزیع گاما تصور کنید در یک فرودگاه نشسته‌اید و فرود آمدنِ هواپیماها را تماشا می‌کنید. فرض کنید می‌خواهید بدانید که احتمالِ این‌که در ۱ دقیقه‌ی آینده، ۱ هواپیما فرود بیاید چقدر است. یعنی یا هواپیما فروید خواهد آمد یا فرود نخواهد آمد. اگر درس توزیع برنولی را خوانده باشید متوجه می‌شوید که این یک توزیع برنولی است. احتمال پیروزی (success) فرود آمدنِ هواپیما خواهد بود و احتمال شکست (fail) نرسیدن یک هواپیما است. حالا اگر بخواهیم بدانیم که در ۱۰ دقیقه‌ی آینده، احتمال این‌که هر دقیقه هواپیمایی به زمین فرود بیاید چقدر است، از توزیع دو جمله‌ای که در درس توزیع جمله‌ای یاد گرفتیم، استفاده خواهیم کرد. در واقع توزیع دوجمله‌ای n مرتبه تکرارِ توزیع برنولی است.

حالا فرض کنید می‌خواهیم بدانیم که با چه احتمالی، یک هواپیما در ۲۰ دقیقه‌ی آینده فرود می‌آید. پاسخ به این سوال را می‌توانیم در توزیع نمایی و فرمول‌های آن پیدا کنیم. در درس توزیع نمایی با این توزیع احتمالی آشنا شدیم. حالا اگر بخواهیم بدانیم که با چه احتمالی n هواپیما در این ۲۰ دقیقه به زمین فرود خواهند آمد، بایستی به سراغ توزیع گاما یا همان gamma distribution برویم. در واقع توزیع گاما نسبت به توزیع نمایی، همان حالتی را دارد که توزیع دوجمله‌ای نسبت به توزیع برنولی. البته اگر بخواهیم دقیق‌تر صحبت کنیم، این توزیع، توزیع ارلنگ (erlang) است و توزیع گاما توزیعی است که می‌تواند مقادیری مانند اعداد شناور (مثلاً ۱.۷۳) را نیز محاسبه کند. به این عدد در توزیع گاما، a (آلفا) می‌گویند. همچنین مانند توزیع پواسون و نمایی نیز یک lambda در توزیع گاما وجود دارد که بیان‌گر رویدادهای مورد انتظار در بازه‌ی زمانیِ خاص است.

اگر بخواهیم با نمودار، توزیع گاما را توضیح دهیم، چیزی شبیه به شکل زیر می‌شود:

فرض کنید در شکل بالا، محور افقی زمان بوده و محور عمودی احتمال وقوع یک رویداد است. مشاهده می‌کنید که اگر a (آلفا) برابر ۱ باشد، توزیع گاما همان توزیع نمایی می‌شود. در واقع توزیع گامایی که فقط یک بار تکرار شود، همان توزیع نمایی است. ولی هنگامی که مقدار a (آلفا) را بیشتر می‌کنیم، احتمالات تغییر می‌کند. شاید در ابتدا نمودار بالا کمی پیچیده به نظر برسد، ولی با مطالعه‌ی دروس قبلی و کمی تامل در نمودار می‌توانید آن را درک کنید. برای مثال مشاهده می‌کنید که وقتی آلفا برابر ۱ است، بیشترین احتمال وقوع را در زمان صفر داریم و هر چه جلوتر می‌رویم این احتمال کمتر می‌شود. برای مثال فرض کنید در مترو نشسته‌اید و می‌خواهید بدانید که اولین مترو در چه زمانی می‌رسد. احتمال اینکه این مترو همان لحظه برسد خیلی بیشتر است تا یک دقیقه‌ی بعد. چون اگر قرار باشد مترو یک دقیقه بعد برسد، یعنی نباید تا یک دقیقه‌ی دیگر هیچ مترویی برسد و این خود احتمال را کم می‌کند. با کمی تامل قطعاً می‌توانید این قضیه را درک کنید. در همان نمودار بالا مشاهده می‌کنید، هنگامی که a (آلفا) بیشتر می‌شود، احتمال وقوع در ابتدای نمودار (یعنی زمان‌های ابتدایی) کمتر است و رفته رفته (با توجه به مقدار lambda) بیشتر شده و از یک جایی به بعد دوباره کم می‌شود. برای مثال فرض کنید می‌خواهید بدانید با چه احتمالی ۲ مترو به ایستگاه می‌رسند. طبیعتاً احتمال این‌که این دو مترو در زمان صفر برسند تقریباً صفر است و رفته رفته بیشتر شده و بعد از مدتی (که بستگی به lambda دارد) نیز احتمال مشاهده‌ی ۲ مترو رو به کاهش می‌رود.

توزیع گاما در ابزارها و زبان‌های مختلف مانند اکسل، زبان پایتون، R یا SPSS در دسترس بوده و می‌تواند به سادگی توسط این ابزارها محاسبه شود.