توزیع نمایی (Exponential Distribution)

مدرس: مسعود کاویانی

MasoudKaviani.ir

در دروس قبلی، به توزیع‌های مختلف مانند توزیع نرمال، توزیع دو جمله‌ای یا توزیع پواسون اشاره کردیم. این درس را با معرفی توزیع نمایی یا همان exponential distribution ادامه می‌دهیم. یکی از کاربردهای توزیع نمایی، پاسخ به این سوال است که تا موقع رخ دادنِ یک رویداد، چقدر زمان باقی مانده است؟ برای مثال شما به دفتر کار خود می‌رسید و می‌بینید که مدیرتان با تلفن صحبت می‌کند. با خود این سوال را می‌پرسید که تلفنِ او چند دقیقه‌ی دیگر تمام می‌شود؟ یا پلیسی که وسط یک نزاع خیابانی سر می‌رسد و با خود می‌گوید چند ثانیه دیگر این درگیری تمام می‌شود؟ یا حتی پاسخ به این سوال که چند وقت دیگر در فلان منطقه زلزله می‌شود؟ چون این فرآیندها و بسیاری از فرآیند‌های دیگر، توسط تابع نمایی مدل‌سازی می‌شوند، پاسخ به این سوالات نیز توسط توزیع نمایی انجام می‌شود.

توزیع نمایی از یک قاعده‌ی کلی پیروی می‌کند. رویدادهای کوچک، بسیار زیاد اتفاق می‌افتند و رویدادهای بزرگ، به ندرت و کم اتفاق می‌افتند. مثلاً در مورد زلزله، تعداد زیادی زلزله با ریشتر کم اتفاق می‌افتد ولی چند موردِ معدود زلزله با ریشتر بسیار بالا رخ می‌دهد. یا مثلاً در تماس‌های تلفنیِ یک منشی، تعدادِ زیادی مکالمه‌ی کوتاه مدت وجود دارد و تعداد کمی مکالمه‌ی بلند مدت.

اگر دروس گذشته را خوانده باشید با مفهوم «تابع توزیع احتمال یا همان PDF» آشنا هستید. PDF برای توزیع نمایی به صورت محاسبه می‌شود:

محاسبه‌ی lambda را در درس توزیع پواسون یاد گرفتیم. در واقع lambda، میانگین مورد انتظار بین دو رویداد مختلف است که از داده‌های قبلی به دست آورده‌ایم.

برای مثال فرض کنید می‌خواهیم بدانیم که در شرکتِ ما، تلفنِ منشی، با چه احتمالی در ۵ دقیقه‌ی آینده تمام خواهد شد. از داده‌های گذشته lambda را به دست آورده‌ایم که برابر ۴ است. پس طبق فرمول بالا، m که معکوس lambda است، برابر ۱/۴ (یک چهارم یعنی معادل ۰.۲۵) می‌شود. x هم برابر ۵ (همان ۵ دقیقه) است. با جایگذاریِ این مقادیر در فرمول بالا، به عدد ۰.۰۷۲ می‌رسیم. از این اعداد می‌توان در محاسبه‌ی زمان مکالمه به صورت تجمیعی (به صورتی که در ادامه خواهیم دید) استفاده کرد:

حالا فرض کنید می‌خواهیم بدانیم که با چه احتمالی، تلفنِ این منشی در بازه‌ی ۴ تا ۵ دقیقه طول خواهد کشید. برای پاسخ به این سوال باید از تابع توزیع تجمعی (CDF) برای توزیع نمایی استفاده کنیم، فرمول این تابع و راه حل سوال بالا را در شکل زیر مشاهده می‌کنید:

پس اگر فهمیدیم رویدادی از توزیع نمایی یا همان exponential distribution استفاده می‌کند، توسط فرمول‌های بالا، می‌توانیم احتمالات مختلف را برای پاسخ به مسائل مربوط به این رویدادها حل کنیم. این تابع توزیع که یک توزیع پیوسته است در بسیار از مسائل دنیای واقعی کاربرد داشته و می‌تواند پاسخگوی مسائل متعدد حوزه‌ی کسب و کار باشد.